« Il ne revient pas au pouvoir civil de juger au cas par cas de la sincérité de la conscience. En revanche, il lui revient de laisser la liberté à certains actes dans certaines circonstances, pour protéger la sincérité de la conscience. »

Alors concrètement, comment cela se passe-t-il ? Expliquez moi ce qu'est une loi qui protège la sincérité de la conscience.

C'est une loi qui donne « la liberté à certains actes dans certaines circonstances » : ainsi, elle protège la liberté de ceux qui posent ces actes en suivant leur conscience. C'est comme cela que personnellement je comprends la formule « protéger la sincérité de la conscience ». On peut d'ailleurs remarquer qu'en quelque sorte, protéger la liberté de leur conscience sincère, c'est justement protéger la sincérité de leur conscience.

« un abus moral du droit de rechercher librement la vraie religion, qui reste cependant dans les "limites de l’ordre public juste de DH 7, § 3", n'est pas un abus légal. »
Tout dépend comment est écrite la loi ! Mais où cela nous mène-t-il ?

DH affirme un droit naturel, et la loi considérée ici est la loi naturelle appliquée au droit civil. En d'autres termes : la loi considérée ici est l'ensemble des lois civiles qui découlent de la loi naturelle.
Elle aussi laisse la place à des abus moraux, ce n'est pas une imperfection que l'on devrait supprimer

L'Etat devrait-il faire volontairement des lois imparfaites qui laissent la place à l'abus moral ?

Il est dans la nature de tout droit civil de laisser la place à des abus moraux. Ce n'est pas une imperfection à corriger, c'est conaturel à leur statut de droit civil. Ainsi le droit de propriété, tel que l'impose la loi naturel, laisse la place aux abus moraux que je vous ai donnés en exemple dans mon message précédent.

Dans ce cas pourquoi Pie IX écrirait-il : « Mais il faut reconnaître, pour que Notre jugement reste dans la vérité, que plus il est nécessaire de tolérer le mal dans un Etat, plus les conditions de cet Etat s'écartent de la perfection ; » ?

Il l'écrivait parce que c'est vrai. Cependant, certaines tolérances ne sont pas "au choix" : c'est la loi naturelle qui les impose. C'est justement cela que j'ai illustré plus haut.